Стоячая
звуковая волна создаётся с помощью двух одинаковых и жестко связанных
(точечных) источников звука частоты
. Утверждается, что длина
стоячей волны зависит от скорости перемещения системы как целого относительно
воздуха и равна [1]:
(
,
- скорость движения
системы, 
- скорость звука). Эта формула получена Ю. Ивановым очень
изящно – геометрическим методом, с «помощью циркуля и линейки» (см.
www.mirit.ru), однако в связи с её фундаментальностью есть смысл дать
более строгое её обоснование.
1.
Неподвижные
источники.
Волновое
поле точечного источника звука (помещённого в начало координат) определяется
из решения волнового уравнения [2]:
(1)
(где
=
- оператор
Даламбера (даламбериан),
- скорость звука
(не света!), 
- избыточное давление,
- амплитудная
характеристика источника,
- дельта-функция)
и имеет вид:
(2)
Решение находится методом Фурье
(см.Д1).
Поле двух
источников есть суперпозиция:
(
). Вдоль отрезка
,
соединяющего источники, и в точках, близких к середине отрезка, имеем:
(3)
(
) и,
следовательно.
(4)
где
и
-
начальные фазы источников. Это – стоячая волна с частотой
и длиной:
.
2. Движущиеся
источники.
Волновое
поле движущегося точечного источника находится из уравнения:
(5)
Переходя в систему источника с
помощью преобразований Галилея.
(6)
получим:
(7)
(). Решение этого
уравнения имеет вид (см. Д2):
(8)
где
.
Так
выглядит волна, распространяющаяся от источника частоты
, движущегося с
постоянной скоростью вдоль оси
OX. Важно, что частота источника
здесь – постоянна и от скорости движения не зависит. Это видно из выражения
(8): при 
фаза источника равна
, как и должно быть.
Волновые фронты представляют собой последовательность вложенных друг в друга
сфер со смещенными центрами (рис.2).
Формулу
(8) удобно записать в полярных координатах (
). Полагая:
, где
, получим:
и, следовательно:
(9)
Используя
этот результат нетрудно найти искомое выражение для стоячей волны, создаваемой
двумя разнесенными в пространстве и движущимися источниками звука. Имеем:
.
Оба
давления выражаются формулой (9), но в точках, близких к середине отрезка
(где формируется стоячая волна), для источника
:
,
, а для
источника 
:
, 
(рис.3), причём
.
С учётом этого искомая сумма
равна:
(10)
Это – стоячая волна с частотой
и длиной:
(11)
что и требовалось доказать.
Обобщённые преобразования
Лоренца.
Ю. Иванов
не только вывел формулу (11), но и подтвердил её экспериментально.
Предложенный им вывод (несмотря на все свои достоинства) не затрагивает ни
волновое уравнение, ни тесно с ним связанные преобразования Лоренца. Вопрос об
этих преобразованиях, однако, всплывает позже, когда Ю.И. плавно переходит от
акустики газа к акустике эфира и вступает в конфликт с теорией
относительности. С этим вопросом, поэтому, следует разобраться.
Пока мы
имеем дело с акустикой, нас не касаются утверждения СТО, и поэтому,
рассматривая движущийся источник, мы вправе написать для него волновое
уравнение в виде (5):
(12)
пользуясь при этом обычными
преобразованиями Галилея. Это уравнение можно решать предложенным выше
способом, но можно поступить более изящно, воспользовавшись т/н «обобщёнными
преобразованиями Лоренца».
Суть идеи
состоит в том, чтобы путём замены переменных привести уравнение (12) к виду
(1) для неподвижного источника. Подходящей заменой будут
преобразования:
(13)
где
- произвольная
постоянная. Это и есть «обобщённые преобразования Лоренца». Они, надо
отметить, всё еще не имеют никакого касательства к СТО: здесь
-
скорость звука (а не света) и формулы (13) являются просто удобной заменой
переменных.
Эти
преобразования хороши тем, что они не искажают даламбериан, а просто приводят
к его умножению на 
(см. Д3):
®
g2'
(14)
Таким образом, уравнение (12)
преобразуется к виду:
'
Здесь
/обратное
преобразование/. Используя свойство
-функции:
, и полагая в
экспоненте 
(поскольку она всё равно умножается на
),
получим:
¢
(15)
Это – как
раз то, что нужно: уравнение для неподвижного источника с амплитудой
и частотой
. Из условия постоянства
частоты следует:
(16)
Решение исходного уравнения (12) получается автоматически: из (15) с учётом
(16) следует:
откуда (т.к.
,
где
)
получаем:
(17)
что совпадает с формулой (8).
Общие
преобразования (13) принимают при этом вид:
(18)
Их можно назвать «акустическими
преобразованиями Лоренца». Важно, что они сохраняют темп времени (при
).
Пространственные же масштабы при таких преобразованиях изменяются, сжимаясь по
всем трём координатным осям. На это указывает Ю.И., и он совершенно прав, пока
остаётся в рамках акустики.
Принцип
относительности.
Если,
следуя за Ю.И., мы от обычной акустики перейдём к акустике эфира, где скорость
распространения упругих колебаний полагается равной скорости света в вакууме,
то мы сразу столкнёмся с идеологией СТО. Волновое уравнение для неподвижного
источника будет иметь в этом случае тот же вид, что и для обычной акустики,
однако, уравнение для движущегося (равномерно и прямолинейно) источника будет
уже иным, отличным от (12) (т.к. последнее соответствует преобразованиям
Галилея).
Ход
рассуждений в СТО следующий.
Выдвигается «принцип
относительности», согласно которому скорость света
- есть
универсальная постоянная, одинаковая во всех инерциальных системах
отсчёта. В собственной системе отсчёта, в которой источник – неподвижен,
волновое уравнение имеет вид:
¢
(19)
Переход в лабораторную систему
осуществляется с помощью классических преобразований Лоренца:
(20)
Эти преобразования вообще не
изменяют даламбериан:
=
¢
(21)
(т.к.
). Правая же часть
уравнения (19) преобразуется к виду:
Таким образом, волновое уравнение
для движущегося источника имеет вид (и это –
постулируется):
(22)
Его решением его является
функция:
(23)
Эта формула отличается от (17) тем,
что частота преобразуется по правилу:
(24)
Таким
образом, процедура вычислений, диктуемая СТО, приводит к тому, что частота
движущегося источника начинает зависеть от скорости движения или, иными
словами, что меняется темп времени (!).
Этот вывод
является прямым следствием «принципа относительности». Сам этот принцип не
содержит под собой какой-либо определенной физики и был выдвинут (и
утвердился) в связи с отрицательным результатом опыта Майкельсона-Морли,
поскольку нулевой результат этого опыта красиво объяснялся гипотезой
Фитцджеральда о сокращении. Сокращение продольного масштаба в пропорции
при неизменном поперечном масштабе, – а это прямо следует
из преобразований Лоренца, – приводит к точной компенсации разности хода лучей
в интерферометре и оставляет дифракционную картину неподвижной.
Таким
образом, преобразования Лоренца превратились из просто удобной замены
переменных в нечто, имеющее непосредственный физический смысл. Сам Лоренц
считал сокращение масштабов физической реальностью
[3], однако то, что одновременно с
этим обязан был меняться ещё и темп времени, глубоко его удручало. На
протяжении многих лет Лоренца одолевали сомнения в истинности теории
относительности, и по его собственным словам, он «не хотел бы отказываться от
концепции, гласящей, что пространство и время – вещи совершенно разные и что
существует понятие истинного времени»
[4]. До конца жизни Лоренц верил
в существование мирового эфира и не мог смириться с тем, что СТО сделала его
просто ненужным.
А ведь
всего этого, по-видимому, можно было бы избежать! На этом настаивает Ю.И., и с
ним трудно не согласиться.
Если
забыть про «принцип относительности» и при решении волнового уравнения для
движущегося источника пользоваться не «классическими», а «акустическими»
преобразованиями Лоренца, (рассматривая их при этом просто как удобную замену
переменных), то:
--- сохраняется в полной
неприкосновенности представление о мировом эфире;
--- темп времени не меняется, т.е.
существует абсолютное время и, соответственно, никак с ним не связанное
пространство;
--- сокращение масштабов
происходит, но теперь – по всем трём пространственным осям в отношении:
.
Изменение длин плеч интерферометра при этом по-прежнему в точности
компенсирует разность хода лучей, так что с этих позиций отрицательный
результат опыта Майкельсона-Морли объясняется так же хорошо (и дополнительного
введения «принципа относительности» не требуется). Мало того, если сокращение
масштабов определяется в СТО только на формальном уровне, то с новых позиций
можно подвести под это физику (взяв за основу обнаруженное Ю.И. явление
«сжимания стоячих волн»
[1]).
Здесь,
таким образом, явно есть, над чем подумать, и в этом плане деятельность Ю.И. и
его страстные выступления против «гипноза теории относительности» заслуживают
всяческого внимания. Может быть, прав Ю.И., и «принцип
относительности» есть не более чем иллюзия – великая иллюзия
века?
* * *
Дополнения
Д1. Волновое уравнение для
неподвижного источника.
Решение
уравнения:
находится методом разделения
переменных. Полагая
, получаем для
:
где
. Решение этого уравнения
ищется в виде разложения по плоским волнам (метод Фурье):
где
- образ функции
,
равный:
.
Подставляя в уравнение для
разложение Фурье, получаем алгебраическое уравнение для
образа:
.
Здесь
. Таким образом, образ
равен:
, а сама функция представима в виде:
Для
получения явного вида решения остаётся взять интеграл по всему
-пространству.
Если направить ось OZ вдоль
, то
, и интеграл по углам
легко находится: 
(
-
комплексное сопряжение). Интеграл
по 
берётся с помощью вычетов:
Таким образом, окончательно
получаем: 
и, следовательно:
- - -
Д.2. Волновое уравнение для движущегося
источника.
Решение
уравнения:
естественно искать в виде:
.
Для получаем уравнение:
Полагая
можно исключить отсюда первую производную по
. Это
достигается при 
. Для 
получаем:
Сжимая
масштаб по по правилу:
и, следовательно:
и выбирая
так, чтобы исчезло
бы искажение лаплассиана, а именно:
, находим (теперь уже в
переменных 
):
(при преобразовании правой части
использовано свойство
-функции:
). Это
уравнение уже встречалось выше, и его решение известно. Таким образом:
,
где 
.
(
). Окончательно
получаем:
- - -
Д3. Преобразование
даламбериана.
В
переменных:
имеем:
.
Таким образом, даламбериан
преобразуется к виду:
=
¢
- - -
Литература
Иванов Ю.Н. Ритмодинамика.
М., Новый Центр, 1997.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.
Теоретическая физика, т.VI. М., Наука, 1986.
Лоренц Г.А. Доклад на
конференции по эксперименту Майкельсона-Морли. В кн. «Эфирный ветер» под ред.
Ацюковского В.А. М., Атомиздат,1993.
Уиттекер Э. История теорий
электричества и эфира. Москва – Ижевск, 2004.